Il y a des archaïsmes qui ont la vie dure. D’autres mots du dictionnaire: Nous n’osons pas faire état de deux phrases si surprenantes qu’il est plus prudent d’y voir jusqu’à nouvel ordre des fautes d’impression: Au Concilie d’Orléans, article 9e, il y a au latin beneficia Quand ils se présentent, ils s’écrivent également en toutes lettres.

Dans les limites de notre lecture nous n’avons rencontré que l’autre dans les recueils de chartes françaises du xme siècle que nous avons examinés et dans les documents postérieurs, et c’est celui qui, dans les livres et les écrits de toute nature, s’est perpétué chez nous jusqu’à la fin du xvne siècle. Le silence des textes semble nous assurer que cet emploi du cardinal était alors à peu près confiné à la langue de la conversation. Il s’est transmis jusqu’à nous. Parfois ce sont seulement les douze centaines du nombre marquant la date qui sont ainsi latinisées:. Une page de Wikipédia, l’encyclopédie libre. Que devient second au xvie et au xvne siècle? Cela devient plus évident encore quand on observe que Froissart lui-même l’a connu et pratiqué à l’occasion:.

Les exemples de croissance rencontrés sont en général des croissances polynomiales, exponentielles ou logarithmiques. Mais des suites, même orcinal de façon très simple, peuvent avoir des comportements complexes comme le montrent les suites chaotiques de la théorie des systèmes dynamiques Perrin, Les suites que nous considérons dans cette vignette, introduites par le logicien britannique Reuben L.

Goodstein enont un comportement très différent. La preuve de ce résultat nécessite une généralisation du raisonnement par récurrence à des ordinaux infinis mais sa mécanique en est tout à fait compréhensible. Prenons comme point de départ, le nombre utilisé par Kirby et Paris qui, on le verra, jouent un rôle important dans cette histoire. En base 3, ce nombre a en fait comme décomposition additive: On obtient ainsi successivement: Les termes de la suite semblent donc croître très vite.

Est-ce toujours le cas?

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Regardons plus soigneusement les expressions écrites ci-dessus. Si les termes successifs de la suite de premier terme croissent rapidement, les exposants intervenant dans les représentations dans les bases successives considérées tendent, eux, cependant à décroître.

Pour cela, il faut faire intervenir, comme annoncé, des ordinaux infinis. Nous faisons donc une digression de ce côté-là. Pour cela, on procède de la façon suivante. Elles sont définies de façon légèrement différente et leur croissance est beaucoup plus spectaculaire! Mais, curieusement, le ordinl de la preuve est similaire.

Revenons au nombre et à sa décomposition sur la base des puissances de 2: Pour construire le terme suivant de la suite de Goodstein, on ordiinal toutes les occurrences de la base 2 par des 3 et on enlève 1 comme on le faisait pour la suite faible.

Puis on itère le processus.

Et pourtant, cette suite, comme toutes les suites de Goodstein, finit par devenir décroissante et converge vers 0. La preuve est en tout point similaire à celle que nous avons esquissée pour les suites faibles. Il nous a fallu nous situer dans le cadre plus général de la théorie des ensembles pour faire intervenir des ordinaux transfinis.

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Inutile donc pour les mathématiciens de dépenser leur énergie à chercher une telle preuve! Une telle démonstration nous a été proposée par Laurent Cichon qui avait introduit les ordinzl faibles de Goodstein dans Cichon, Une propriété concernant des entiers peut ainsi pouvoir être démontrée dans la théorie des ensembles et non dans la théorie de Peano qui est donc strictement plus faible.

Mais cet exemple nous semble aussi instructif au-delà de la seule logique.

Cantor et les infinis. Envolées intersidérales… à destination terrestre! Herculean of Sisyphean tasks? EMS NewsletterMarchoreinal. La suite logistique et le chaos.

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Enseignement supérieur et formation Autres activités de la régionale Les journées nationales Orléans Brevet sujets tous corrigés Terminale STL sujets tous Terminale STMG sujets tous Les suites faibles de Goodstein Prenons comme point de départ, le nombre utilisé par Kirby et Paris qui, on le verra, jouent un rôle important dans cette histoire.

Mais dans les deux cas, le nouvel ordinal obtenu est strictement inférieur au précédent. Les suites de Goodstein Revenons au nombre et à sa décomposition sur la base des puissances de 2: Pour la ScienceDossier.